Eleverna ska utveckla förmågan att
…kunna tolka vardagliga och matematiska situationer samt beskriva och formulera dessa med hjälp av matematikens uttrycksformer.
…undersöka problemställningar, göra beräkningar och presentera och tolka data.
…använda matematikens uttrycksformer för att kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang.
Centralt innehåll åk 7–9
- Tabeller, diagram och grafer samt hur de kan tolkas och användas för att beskriva
resultat av egna och andras undersökningar, till exempel med hjälp av digitala verktyg.
- Bedömningar av risker och chanser utifrån statistiskt material.
Denna lektionsmodul bygger på grundantagandet att lärande i matematik är starkt knutet till intresse och meningsfullhet. Om elever finner ett innehåll intressant, rimligt och meningsfullt får det positiva effekter på deras lärande. Modulen är därför utformad för att ge er som lärare förutsättningar att utveckla er förståelse för undervisning som erbjuder elever sammanhang där de får använda och uppleva hur matematik hjälper dem att tolka och bättre förstå olika skeenden i sin omvärld. Det handlar om att skapa en undervisning som blir meningsfull för elever och därigenom dras in i matematiska diskussioner och resonemang och känner delaktighet i klassens gemensamma kunskapsutveckling i matematik. I modulen kommer ni att jobba med Pepsi challenge[1] för att väcka elevers intresse och skapa ett meningsfullt sammanhang för statistisk slutledning, i relation till informell hypotesprövning.
Att bygga en matematikundervisning som väcker intresse och erbjuder elever möjlighet att utforska matematik i meningsfulla sammanhang är centralt i Realistic Mathematics Education[2]. Realistic Mathematics Education, eller Realistisk matematikundervisning, är en teori om lärande och undervisning i matematik som har sitt ursprung i Holland. Tre grundpelare i realistisk matematikundervisning är Matematisering i realistiska problemsituationer, modeller och vägledd återuppfinning av matematik.
En av teorins grundläggande idé är att matematik ska ses som en mänsklig aktivitet. Elever ska erfara matematik som aktiviteten att göra matematik. Med andra ord, matematik handlar om matematisering och inte om att konsumera en uppsättning begrepp och metoder. Matematisering är en process, där elever är med och formar och kontinuerligt utvecklar matematik i individuella och kollektiva lärprocesser i klassrummet. Sammanhang är centralt i matematisering. Elever lär sig matematik genom att utveckla och tillämpa matematiska begrepp och procedurer i sammanhang som framstår realistiska och meningsfulla för dem. Viktigt att betona är dock att ordet ”realistiskt” inte ska likställas med ”verkliga”. Med realistiskt menas att elever ska erbjudas problemssituationer som de kan föreställa sig och som är meningsfulla för dem. Så länge de verkar verkliga för eleverna, kan sagans fantasivärld och matematikens formella värld erbjuda lämpligt sammanhang för matematiska uppgifter och resonemang.
För att nå progression i processer av matematisering bör den styras så att elever kan återuppfinna matematiken av sig själva. Med återuppfinning menas att elever inte uppfinner matematiken från grunden. Den matematik som presenteras i styrdokumenten har uppfunnits och konstruerats under lång tid av stora matematiker. Lärarens uppgift är att i undervisningen omsätta och vägleda elever i att återuppfinna matematiken som beskrivs i styrdokumenten. Detta innebär att lärare ska precisera en tänkt lärandebana för en undervisningssekvens som är sammankopplad med didaktiska val och verktyg för att leda elever genom lärandebanan. Lärandebanan, tillsammans med didaktiska val och verktyg, måste dock ha en flexibilitet som gör undervisningen öppen för elevers bidrag och olika sätt att resonera. Startpunkt och slutmål är viktiga komponenter i att designa för ett väglett återuppfinnande av något moment i matematik. Både hur ett ämnesområde är uppbyggt matematiskt och matematikdidaktisk forskning i relation till ämnesområdet kan ge idéer till väglett återuppfinnande. Frågor att ställa sig som lärare är, var står mina elever?; vilka förkunskaper har de?; vad är målet med undervisningen?; Vad vill jag att eleverna ska kunna eller få med sig från undervisningen?; vilka centrala begrepp och procedurer ska lärandebanan ledas över?; hur skapar jag förutsättningar för att eleverna dras in i att återuppfinna och får träna på att använda dessa begrepp och idéer i för eleverna realistiska och meningsfulla sammanhang?
Modeller har en central roll i realistisk matematikundervisning på så sätt att modeller har en central roll i processer av väglett återuppfinnande. Konkret, laborativt material och ikoniska och grafiska framställningar kan fungera som modeller, liksom typiska situationer, scheman och symboliska uttryck. Tre villkor som visat sig avgörande för att modeller ska stödja matematisering och progression i den processen är att:
- modellerna är förankrade i för eleverna realistiska, tänkbara sammanhang.
- modellerna är tillräckligt flexibla för att kunna tillämpas på olika nivåer av förståelse i en matematiseringsprocess och enkelt kunna anpassas till nya situationer.
- eleverna bör kunna tänka ut (invent, konstruera) modellerna på egen hand.
En avgörande egenskap hos modeller är dess dubbla funktion. I början av ett lärande är en modell mycket nära kopplad till den aktuella problemsituationen och modellen blir en modell av realistiska, konkreta inspirationskällor. Senare kan man finna att modellen också är användbar i andra situationer och modellen kan då bli en modell för matematisk kontroll av dessa situationer. Som exempel kan vi tänka på en undervisningssekvens där strukturen av en linjal först blir modell av mätenheter. Modellen är nära knuten till den konkreta mätningsaktiviteten. Gradvis förändras linjalens funktion för eleven och kan utvecklas till en modell för resonemang om addition och subtraktion av siffror upp till 100.
Vi kommer nu att beskriva hur betydelsen av realistiska sammanhang, väglett återuppfinnande och modeller blir tätt sammanvävt i designen av de tre lektionerna i Modul 3, som tillsammans syftar till att utveckla elevers förståelse för statistisk inferens i relation till informell hypotesprövning.
Informella inferenser utifrån hypotesprövning
Det matematiska innehållet i denna modul syftar till att utveckla elevers förmåga att dra generella slutsatser utifrån statistiska data. Statistikinnehållet i kursplaner, både i Sverige och internationellt, fokuserar till stor del på att bryta ner och förenkla begrepp från formell statistik som eleverna sedan möter igen på högskolan. Forskning har dock visat att elever har svårt att koppla samman dessa formella begrepp, så som olika lägesmått och spridningsmått, och dra slutsatser utifrån dem och statistiska data innan de når högskolan. Den svenska läroplanens beskrivning av matematikämnet innefattar dock även att elever ska lära sig att undersöka problemställningar och tolka data. En väg att uppnå detta och som fått mycket uppmärksamhet i matematikdidaktik är informell statistisk inferens (ISI). ISI står på tre ben; (1) generalisering eller ett påstående som sträcker sig bortom insamlad data där (2) data används som bevis och som (3) uttrycks i sannolikhetstermer (språk som tar hänsyn till slump/osäkerhet).
I lektionsserien förväntas eleverna resonera och dra slutsats om Pepsi challenge. Eleverna kommer själva att få skapa ett stickprov med 40 observationer. 40 elever provsmakar två muggar, med Pepsi i ena muggen och Coca-cola i den andra. Eleverna vet inte vet vilken mugg som innehåller vad. De ska bara välja den de tycker är godast. Ett förslag är att de ställer muggen med drycken de tyckte bäst om på ett bord och slänger den andra. För att enkelt identifiera vilken dryck eleverna valt rekommenderar vi att läraren märkt upp muggarna i förväg med t.ex. slumpmässiga udda tal för Coca Cola och jämna tal för Pepsi skrivet i botten. Sammanställ sedan resultatet i efterhand.
Säg att elevernas stickprov visar att 26 av de 40 eleverna föredrar Pepsi. Vad kan eleverna dra för inferens baserat på det stickprovet? Metoden kallas för hypotesprövning. I hypotesprövning jämför man ett stickprovsresultat med en 50/50 fördelning (Nollhypotes). En nollhypotesen innebär att man antar att det är lika stor chans att elever i populationen föredrar den ena drycken som den andra. Frågan är då om ett stickprov som visar att (t.ex.) 26 av 40 föredrar Pepsi framför Coca-cola kommer från en population under ett sådant antagande. Vi vet att slumpen gör att även med en 50/50 fördelning så blir det väldigt sällen att exakt 20 elever skulle föredra Pepsi från ett stickprov om 40 elever. Det blir alltid viss slumpvariation. Men, hur stor chans är det att det blir 26 av 40 om chansen vore 50/50? Det går att jämföra med att kasta ett mynt och fråga sig, hur stor chans det är att det blir 26 klave vid 40 kast. Så, frågan man ställer sig i hypotesprövning är om 26 av 40 är en avvikelse som man kan förvänta sig från en 50/50 fördelning eller om avvikelsen är så pass stor så det är mer troligt att stickprovet inte kommer från en 50/50 fördelning, dvs. att det finns en verklig skillnad mellan vilken smak elever i populationen i sin helhet föredrar. Under de tre lektionerna kommer eleverna få möjlighet att utveckla sin förmåga att genomföra en sådan informell hypotesprövning och dra informella inferenser genom att jobba med modeller av liknande situationer.
För att bygga upp elevernas förståelse för ISI under de tre lektionerna så ska eleverna generera egna data och skapa modeller (som t.ex. diagram) utifrån dessa. Det har visats att det är viktigt att eleverna är en del i datainsamlingen. När de samlar sin egna data skapar vi den realistisk situation som eleverna ska resonera kring, de förstår datans begränsningar bättre och tenderar i högre utsträckning att använda ord och formuleringar som signalerar att deras resonemang bygger på osäkerhet. En begränsning med att själva generera data är dock att stickprovet tenderar att bli litet. I lektion 1 får eleverna generera egna data utifrån flask-experimentet[3], i lektion 2 genomför de en mini-enkät i klassen och i lektion 3 har de resultatet från cola-undersökningen som de genomfört själva. Tillsammans med sitt eget stickprov jobbar de dessutom med en simulerad slumpgenerator i en geogebra app. På så sätt får de också snabbt stora/många stickprov att skapa modeller för denna typ av stickprovsundersökningar. Vi har sett att kombinationen mellan det digitala och den egna datan är en kraftfull möjlighet, då eleverna kan använda den egna datan för att förstå vad som visas på skärmen i vissa situationer och dra inferenser från den egna datan med stöd i vad som visas på skärmen.
I lektion 1 får eleverna chansen att erfara hur upprepade stickprov beter sig. När de ser sitt diagram växa fram är tanken att de ska upptäcka formen på en normalfördelningskurva[4]. Det blir en form av guidat upptäckande. När eleverna sedan ombeds att dra sin informella inferens, att de förkastar hypotesen att deras flaska innehåller en 50/50-fördelning av kulor, så gör de det i relation till en modell för hur en sådan normalfördelningskurva hade sett ut. De får chansen att testa vad hypotesprövning går ut på informellt. Det är viktigt att du diskuterar gränser för hur en sådan inferens kan se ut. De kan till exempel inte dra inferensen att de har en 50/50-fördelning, utan bara förkasta en sådan hypotes om resultatet avviker tillräckligt mycket från det förväntade. Vi rekommenderar att ni tar tid till en sådan diskussion, den erfarenheten hjälper till förståelsen för hypotesprövning och dess begränsningar.
Tidigare forskning har visat hur viktigt det är i en lärprocess i statistik att förstå sin egen del i ett diagram för att senare förstå modellen i sin helhet. Ett exempel i modulen på detta är i lektion 2, där de ska föra in resultatet av sin egen undersökning i ett befintligt diagram som visar resultatet av 49 likadana undersökningar. Deras kryss blir då en del av helheten i ett spridningsdiagram som grovt antar formen av en normalfördelning. Att kunna sätta in det egna krysset blir en del i processen att förstå och kunna resonera utifrån datan. Här tränar de inte i att dra inferenser, utan i att kunna resonera utifrån datans kontext, och kunna förklara varför formen blir som den blir. Här vill vi också befästa tanken som kanske/kanske inte dök upp under lektion om att extrema resultat kan hända men är ovanliga. Det går att relatera till ett myntkast, om man singlar slant 20 gånger så kan det hända att det blir klave 2 gånger, men det är väldigt ovanligt. Om man då bara har ett stickprov att utgå ifrån då? Då måste man prata om risken det innebär att göra den generalisering man gör.
I samtliga lektioner ombeds eleverna att göra någon form av generalisering utifrån sina stickprovsundersökningar. Viktigt då är att hela tiden bära med sig tanken om att sådana generaliseringar alltid innebär en viss risk, en viss osäkerhet. I lektionerna ombeds eleverna att svara på frågan hur säkra de är på sin inferens. Detta blir ett informellt sätt att kvantifiera risken de tar med sin generalisering. Själva kvantifieringen är inte viktig i sig, men det är viktigt att de görs medvetna om att statistik innefattar osäkerhet. I lektion 3 kommer de sedan in på hur stor risk de är villiga att ta i och med sin inferens. Eleverna ställer in Geogebra-appleten så att den blir en modell för nollhypotesen, dvs. att det är 50/50 vilken smak elever föredrar. När de drar i de gröna trianglarna så ser de hur stor andel av stickproven som hamnar utanför gränsvärdet trots att stickprovet (i det fallet) kommer från en 50/50-fördelning. De ska alltså upptäcka, med er hjälp, att om deras resultat hamnat till höger om strecket så finns det en chans att det gjort det av slump. Om till exempel, 25 elever av 40 elever föredrog den ena smaken över den andra så kan eleverna se i appleten att det är ca. 7,25% chans att få ett sådant resultat eller mer avvikande från en 50/50-fördelning. Uttryckt i termer av hypotesprövning skulle man då kunna formulera inferensen att, utifrån stickprovet (baserat på data), föredrar elever (generalisering mot population) Pepsi framför Coca-cola och att det är ca. 7,25% risk att generaliseringen är fel (sannolikhetsspråk). En klassisk gräns för att uttala sig om att något är statistiskt säkerställ är 5%. Så, från ett stickprov där 25 av 40 elever föredrar Pepsi framför Coca-cola kan vi inte generalisera att elever (i populationen) föredrar Pepsi framför Coca-cola utifrån en sådan gräns. Aktiviteten ger därför också ett utmärkt tillfälle att diskutera risk såsom kursplanen avser. Det går t.ex. att fråga elever om de är beredda att ta samma typ av risk oberoende av sammanhanget. Antagligen inte. Därför finns det även formella statistiska metoder och gränsvärden för risktaganden.
Som exempel ovan illustrerar handlar den avslutande utmaningen i lektion 3 att utföra en informell hypotesprövning. De ska alltså uttala sig om i fall det går att säga att elever på grundskolan föredrar smaken av en sorts cola-dryck före en annan baserat på sitt stickprov. Det är då viktigt att uppmärksamma om deras slutsatser innefattar alla beståndsdelar för att kunna kallas för en informell statistisk inferens. Du kan utgå från tre frågor när du lyssnar in elevernas resonemang: 1) Handlar deras slutsats om dem som grupp, eller är det en generalisering till en population? 2) Är deras slutsats grundad i den data de genererat eller i deras egen föreställning om deras förmåga att känna smaker? 3) Uttrycker de sig med ord som indikerar osäkerhet, såsom kanske, antagligen, rimligen osv, eller inte? Ta hjälp av appleten för att stimulera resonemang, och återkoppla ofta till erfarenheter i och med flask-aktiviteten och enkätundersökningen. Fundera i förväg på hur du kan utmana resonemangen under lektionen om de inte uppfyller kraven för informell statistisk inferens som frågorna ovan är kopplade till. Bland modultexterna finns även en scenario-text som exemplifierar hur en avslutande diskussion skulle kunna ta form och vilka typer av frågor som blir viktiga. Där fokuserar läraren (Edvard) på Hur säker är eleven? Vad baserar eleven sitt resonemang på? Hur skulle det behövt se ut för att eleven tänkt annorlunda? Resonerar andra elever samma eller annorlunda?
Under och efter varje lektion:
- Spegla din egen undervisning i definitionen av informell statistisk inferens
- I vilka lägen avkräver du av eleverna att tydligt hänvisa till data i sina resonemang?
- Hur gör du för att uppmana elever att generalisera utifrån data?
- På vilket sätt kommer osäkerhetsspråk (sannolikhetstermer) in i era diskussioner av resultaten?
- Hur använder eleverna osäkerhetsspråk i sina inferenser?
- I vilka lägen ser du det som värdefullt att hänvisa till tidigare exempel från tidigare uppgifter?
- Om du skulle göra om lektioner, vad skulle du förändra eller tänka extra på?
- Spegla din egen undervisning i principer för RME
- I vilka lägen går du in och styr upp utforskandet?
- Hur utnyttjar du tidigare exempel som (förklarings-)modeller?
- Vad använder du för verktyg för att uppmuntra fortsatt utforskande och resonerande? (Frågor, utmaningar, ställer resonemang mot varandra osv.)
[1] Pepsi challenge är från början en reklamkampanj där personer får blindtesta Pepsi och Coca Cola, och svara på vilken de föredrar. Pepsi påstår att resultatet av pepsiutmaningen visar att amerikaner föredrar Pepsi framför Coca Cola.
[2] Beskrivningarna av Realistic Mathematics Education är tolkningar av Van den Heuvel-Panhuizen, M., & Drijvers, P. (2014). Realistic mathematics education. 521-525. som är fritt tillgänglig online att läsa som fördjupning.
[3] Ett tips är att inte dela ut flaskorna direkt, utan vänta tills ni är framme vid datainsamlingen, annars är det risk att eleverna inte lyssnar utan fastnar direkt i undersökandet.
[4] Här är det viktigt att inte fastna i s.k. parameterestimering, där man intresserar sig för t.ex. normalfördelningens väntevärde (medelvärde). För mer läsning om skillnaden mellan parameterestimering och hypotesprövning, se texten Modul 3 Fördjupning matematik